Få geometriske former er så forskellige som polygoner. De inkluderer den velkendte trekant, firkant og femkant, men det er kun begyndelsen.
I geometri er en polygon enhver todimensionel form, der opfylder følgende betingelser:
- Består af tre eller flere lige linjer
- Er lukket uden åbninger eller brud i formen
- Har par af linjer, der forbinder i hjørnerne eller hjørnerne, hvor de danner vinkler
- Har lige mange sider og indvendige vinkler
Todimensional betyder flad som et stykke papir. Kuber er ikke polygoner, fordi de er tredimensionelle. Cirkler er ikke polygoner, fordi de ikke indeholder lige linjer.
En speciel type polygon kan have vinkler, der ikke alle er ens. I dette tilfælde kaldes det en irregular polygon.
Om polygoner
Navnet polygon kommer fra to græske ord:
- Poly, hvilket betyder many
- Gon, hvilket betyder angle
former der er polygoner
- Trigon (trekant): 3 sider
- Tetragon (firkantet): 4 sider
- Pentagons: 5 sider
- Sekskant: 6 sider
- Heptagon: 7 sider
- Oktagoner: 8 sider
- Nonagon: 9 sider
- Dekagon: 10 sider
- Undecagon: 11 sider
- Dodecagons: 12 sider
Hvordan polygoner navngives
Navnene på individuelle polygoner er afledt af antallet af sider eller hjørner, som formen har. Polygoner har det samme antal sider og hjørner.
Det almindelige navn for de fleste polygoner er det græske præfiks for "sider", der er knyttet til det græske ord for hjørne (gon).
Eksempler på dette for fem- og sekssidede regulære polygoner er:
- Penta (græsk betyder fem) + gon= pentagon
- Hexa (græsk betyder seks) + gon= hexagon
Der er undtagelser fra dette navneskema. Mest bemærkelsesværdigt med ord, der er mere almindeligt brugt for nogle polygoner:
- Trekant: Bruger det græske præfiks Tri, men i stedet for den græske gon, den latinske angleer brugt. Trigon er det korrekte geometriske navn, men bruges sjældent.
- Quadrilateral: Afledt af det latinske præfiks quadri, betyder fire, knyttet til ordet lateral,, som er et andet latinsk ord, der betyder side.
- Square: Nogle gange omtales en firesidet polygon (en firkant) som en firkant eller tetragon.
N-Gons
Polygoner med mere end 10 sider stødes sjældent på, men følger den samme græske navnekonvention. Så en 100-sidet polygon omtales som et hectogon.
I matematik omtales femkanter dog nogle gange mere bekvemt som n-gons:
- 11-gon: Hendecagon
- 12-gon: Dodecagon
- 20-gon: Icosagon
- 50-gon: Pentecontagon
- 1000-gon: Chiliagon
- 1000000-gon: Megagon
I matematik bruges n-goner og deres græsk-navngivne modstykker i flæng.
Polygon Limit
Teoretisk set er der ingen grænse for antallet af sider en polygon kan have.
Når størrelsen af de indre vinkler af en polygon bliver større, og længden af dens sider bliver kortere, nærmer polygonen sig en cirkel, men den når aldrig helt.
Klassificering af polygoner
Regulære vs. uregelmæssige polygoner
Polygoner klassificeres baseret på, om alle vinkler eller sider er ens eller ej.
- Regulær polygon: Alle vinklerne er lige store, og alle siderne er lige lange.
- Uregelmæssig polygon: Har ikke lige store vinkler eller sider af samme længde.
Konvekse vs. konkave polygoner
En anden måde at klassificere polygoner på er efter størrelsen af deres indre vinkler.
- Konvekse polygoner: Har ingen indre vinkler, der er større end 180°.
- Konkave polygoner: Har mindst én indre vinkel, der er større end 180°.
Simple vs. komplekse polygoner
En anden måde at klassificere polygoner på er måden, hvorpå linjerne, der danner polygonen, skærer hinanden.
- Simple polygoner: Linjerne forbinder eller skærer kun én gang - ved hjørnerne.
- Komplekse polygoner: Linjerne skærer hinanden mere end én gang.
Navnene på komplekse polygoner er nogle gange forskellige fra navnene på simple polygoner med det samme antal sider.
For eksempel:
- En regulær formet hexagon er en sekssidet, simpel polygon.
- Et stjerneformet hexagram er en sekssidet, kompleks polygon skabt ved at overlappe to ligesidede trekanter.
Summen af de indre vinkler-regel
Som regel, hver gang en side føjes til en polygon, såsom:
- Fra en trekant til firkant (tre til fire sider)
- Fra en femkant til en sekskant (fem til seks sider)
yderligere 180° tilføjes til totalen af de indvendige vinkler.
Denne regel kan skrives som en formel:
(n - 2) × 180°
hvor n er lig med antallet af sider af polygonen.
Så summen af de indre vinkler for en sekskant kan findes ved at bruge formlen:
(6 - 2) × 180°=720°
Hvor mange trekanter i den polygon?
Ovenstående indre vinkelformel er udledt ved at dividere en polygon i trekanter, og dette tal kan findes med beregningen:
n - 2
I denne formel er n lig med antallet af sider i polygonen.
En sekskant (seks sider) kan opdeles i fire trekanter (6 - 2) og en dodecagon i 10 trekanter (12 - 2).
Vinkelstørrelse for almindelige polygoner
For regulære polygoner, hvor vinkler alle har samme størrelse og sider er lige lange, kan størrelsen af hver vinkel i en polygon beregnes ved at dividere den samlede størrelse af vinkler (i grader) med det samlede antal af sider.
For en regulær sekssidet sekskant er hver vinkel:
720° ÷ 6=120°
Nogle velkendte polygoner
Velkendte polygoner omfatter:
Trusses
Tagspær er ofte trekantede. Afhængigt af tagets bredde og hældning kan spærværket indeholde ligesidede eller ligebenede trekanter. På grund af deres store styrke bruges trekanter til konstruktion af broer og cykelstel. De er fremtrædende i Eiffeltårnet.
Pentagon
Pentagon - hovedkvarteret for det amerikanske forsvarsministerium - har sit navn efter sin form. Bygningen er en femsidet, regulær femkant.
Hjemmeplade
En anden velkendt femsidet regulær femkant er hjemmepladen på en baseball-diamant.
The Fake Pentagon
Et kæmpe indkøbscenter nær Shanghai, Kina, er bygget i form af en regulær femkant og kaldes nogle gange den falske femkant.
Snefnug
Hvert snefnug starter som en sekskant, men temperatur- og fugtniveauer tilføjer grene og ranker, så hver enkelt ender med at se anderledes ud.
Bier og hvepse
Naturlige sekskanter omfatter også bistader, hvor hver celle i en honningkage, som bierne konstruerer til at holde honning, er sekskantet. Paphvepsens reder indeholder også sekskantede celler, hvor de opdrætter deres unger.
The Giant's Causeway
Hexagoner findes også i Giant's Causeway i det nordøstlige Irland. Det er en naturlig klippeformation sammensat af omkring 40.000 sammenlåsende bas altsøjler, der blev skabt, da lavaen fra et gammelt vulkanudbrud langsomt afkølede.
The Octagon
The Octagon - navnet på ringen eller buret, der bruges i Ultimate Fighting Championship (UFC)-kampe - har sit navn fra sin form. Det er en ottesidet regulær ottekant.
Stopskilte
Stopskiltet - et af de mest velkendte trafikskilte - er endnu en ottesidet regulær ottekant. Selvom farven, ordlyden eller symbolerne på skiltet kan variere, bruges den ottekantede form for stopskiltet i mange lande rundt om i verden.